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sábado, 7 de setembro de 2013

A TRIGONOMETRIA E OS FENÔMENOS PERIÓDICOS NA MÚSICA

NESSA POSTAGEM IREMOS FALAR UM POUCO SOBRE A RELAÇÃO DA MATEMÁTICA, EM ESPECIAL A TRIGONOMETRIA E OS FENÔMENOS PERIÓDICOS, COM OS SONS MUSICAIS.







ATRIBUEM-SE AOS PITAGÓRICOS AS PRIMEIRAS INVESTIGAÇÕES VISANDO DESCOBRIR MODELOS MATEMÁTICOS QUE EXPLICASSEM O COMPORTAMENTO DOS SONS MUSICAIS. E A PRIMEIRA DESCOBERTA DECORRENTE DESSAS INVESTIGAÇÕES FOI A DE QUE A ALTURA DO SOM PRODUZIDO POR UMA CORDA MUSICAL É INVERSAMENTE PROPORCIONAL AO COMPRIMENTO DESSA CORDA: QUANTO MAIS CURTA, MAIS ALTO O SOM PRODUZIDO POR ELA. TRATA-SE MUITO PROVAVELMENTE DO MAIS ANTIGO EXEMPLO, NA HISTÓRIA, DE LEI CIENTÍFICA DETERMINADA EMPIRICAMENTE. OS PITAGÓRICOS DESCOBRIRAM TAMBÉM QUE, SE OS COMPRIMENTOS DE DUAS CORDAS IGUALMENTE ESTICADAS ESTÃO UM PARA OUTRO COMO A RAZÃO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS, OS SONS PRODUZIDOS POR ELAS SÃO HARMÔNICOS, POR EXEMPLO, SE UMA CORDA TEM METADE DO COMPRIMENTO DA OUTRA (RAZÃO 1/2), AS CORDAS PRODUZEM SONS QUE SE COMBINAM AGRADAVELMENTE PARA O OUVIDO. ESSES FATOS LEVARAM OS PITAGÓRICOS A ELEGER A MÚSICA COMO UMA DAS GRANDES DA MATEMÁTICA (AS OUTRAS SÃO A ARITMÉTICA, A GEOMETRIA E A ASTRONOMIA) E OS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS E SUAS RAZÕES COMO A CHAVE PARA A EXPLICAÇÃO DO UNIVERSO.

DEPOIS DISSO, O ESTUDO MATEMÁTICO DO SOM SOMENTE SERIA RETOMADO NO SÉCULO XVII, IMPULSIONADO POR PROGRESSOS MATEMÁTICOS E TECNOLÓGICOS NECESSÁRIOS. QUANTO À MATEMÁTICA, FOI DECISIVA A CRIAÇÃO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, COM SEUS PODEROSOS MÉTODOS DE ANÁLISE DOS FENÔMENOS FÍSICOS. NO QUE SE DIZ RESPEITO À TECNOLOGIA, É DE DESTACAR A INVENÇÃO DO RELÓGIO DE PÊNDULO, INSTRUMENTO QUE PERMITA MEDIR PEQUENAS FRAÇÕES DE TEMPO.

SÓ NO SÉCULO XIX, PORÉM, EM GRANDE PARTE DEVIDO À GENIALIDADE DO MATEMÁTICO FRANCÊS JEAN BAPTISTE FOURIER (1768-1830), O ASSUNTO TOMOU UM IMPULSO DECISIVO. APESAR DE SUA ORIGEM HUMILDE, FOURIER CONSEGUIU ESTUDAR NA ESCOLA MILITAR DE SUA CIDADE NATAL, POR INTERFERÊNCIA DO BISPO LOCAL, IMPRESSIONADO COM SUA INTELIGÊNCIA. COMO SUA CONDIÇÃO SOCIAL NÃO LHE PERMITIA ALCANÇAR  O OFICIALATO, TORNOU-SE PROFESSOR DA PRÓPRIA ESCOLA, EM JUSTO RECONHECIMENTO A SEU ENORME TALENTO MATEMÁTICO. LOGO, PORÉM SEUS MÉRITOS CIENTÍFICOS ULTRAPASSARAM OS  LIMITES DA CIDADE: AOS 21 ANOS DE IDADE, ELE TEVE SEU PRIMEIRO TRABALHO DE PESQUISA ACEITO PELA ACADEMIA DE CIÊNCIAS DE PARIS. EM 1795, JÁ SE PROJETANDO CIENTIFICAMENTE, TORNOU-SE PROFESSOR NA RECÉM-CRIADA ESCOLA NORMAL SUPERIOR DE PARIS; LOGO DEPOIS FOI NOMEADO ASSISTENTE DE LAGRANGE E MONGE, DOIS DOS MAIORES MATEMÁTICOS DA ÉPOCA, NA ESCOLA POLITÉCNICA.

CHAMA A ATENÇÃO AA INTENSA ATIVIDADE POLÍTICO-ADMINISTRATIVA DE FOURIER. ENTRE OUTRAS COISAS, ENGAJOU-SE RESOLUTAMENTE NA REVOLUÇÃO FRANCESA E FOI PREFEITO DO DEPARTAMENTO DE ISÈRE, COM SEDE EM GRENOBLE, DE 1802 A 1812. FOI NESSE PERÍODO QUE FOURIER INICIOU SEUS ESTUDOS SOBRE A PROPAGAÇÃO DO CALOR, OS QUAIS CULMINARIAM COM A NOTÁVEL OBRA THÈORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (TEORIA ANALÍTICA DO CALOR), DE 1822. DEVIDO A SUAS PESQUISAS SOBRE ESSA MATÉRIA, FOURIER É CONSIDERADO O PAI DA FÍSICA MATEMÁTICA, CIÊNCIA CUJO OBJETIVO É O ESTUDO MATEMÁTICO DOS PROBLEMAS FÍSICOS COM O MÍNIMO POSSÍVEL DE HIPÓTESES FÍSICAS. 
EM 1807, NO PRIMEIRO ARTIGO SOBRE ESSE ASSUNTO, FOURIER ENUNCIOU UM TEOREMA QUE PODE SER RESUMIDO DA SEGUINTE MANEIRA: TODA FUNÇÃO PERIÓDICA É UMA SOMA DO TIPO:

 a1 sen b1t1 + a2 sen b2t2 + a3 sen b3t3 + ..., (1)

EM QUE AS FREQUÊNCIAS b1, b2, b3,...DAS FUNÇÕES SENOIDAIS DAS PARCELAS SÃO MÚLTIPLAS DA MENOR DELAS. OS MATEMÁTICOS DA ÉPOCA ENCARARAM COM MUITO CETICISMO ESSE RESULTADO; NA  VERDADE, ELE NÃO É TÃO GERAL COMO FOURIER IMAGINAVA, MAS, DEVIDAMENTE APURADO COM O TEMPO, TORNOU-SE UM DOS INSTRUMENTOS ANALÍTICOS MAIS IMPORTANTES DA FÍSICA MATEMÁTICA PARA O ESTUDO DE FENÔMENOS PERIÓDICOS.









MAS O QUE TEM A VER ESSE TEOREMA COM O SOM AFINAL? INTERESSAM-NOS PARTICULARMENTE OS SONS MUSICAIS, OU SEJA, AQUELES RESULTANTES DE UMA VIBRAÇÃO REGULAR E PERIÓDICA DE UM CORPO MATERIAL, COMO A CORDA DE UM VIOLINO OU A COLUNA DE AR DE UMA FLAUTA, POR EXEMPLO.
ENTRE OS SONS MUSICAIS, TEM PAPEL ESPECIAL O SOM PRODUZIDO PELA VIBRAÇÃO DOS BRAÇOS DE UM DIAPASÃO, QUANDO UM DELES É TANGIDO. DEVIDO A CONDENSAÇÕES E RAREFAÇÕES SUCESSIVAS, PROVOCADAS PELO VAIVÉM DE CADA BRAÇO, E À TENDÊNCIA À EQUALIZAÇÃO DA PRESSÃO DOA R, UMA MOLÉCULA VIZINHA QUALQUER PASSA A MOVER-SE PARA A FRENTE E PARA TRÁS, EM UMA REGIÃO LIMITADA EM TORNO DA POSIÇÃO QUE OCUPAVA ANTES DE A VIBRAÇÃO SE INICIAR. TAL COMPORTAMENTO LEVA À SUPOSIÇÃO DE QUE O DESLOCAMENTO y DE UMA MOLÉCULA GENÉRICA, EM FUNÇÃO DO TEMPO t, É DADO POR UMA LEI SENOIDAL DO TIPO y = a sen bt. EXPERIÊNCIAS BEM CONDUZIDAS, COM APARELHOS COMO OS SINTETIZADORES ELETRÔNICOS, MOSTRAM QUE EFETIVAMENTE ESSA SUPOSIÇÃO É CORRETA E, PORTANTO, É NELA QUE ESTÁ A CHAVE PARA O ESTUDO DOS SONS SIMPLES.

SONS COMO O DO DIAPASÃO, QUE PODEM SER DESCRITOS PELA LEI y = a sen bt, DE FREQUÊNCIA b E AMPLITUDE a, SÃO CHAMADOS SONS SIMPLES. E CLARO, PORÉM, QUE POUCOS SONS MUSICAIS SÃO SIMPLES. E COMO SERIAM OS SONS NÃO SIMPLES OU COMPLEXOS? NO SÉCULO XIX, GEORG S.OHM (1789-1854) RESPONDEU A ESSA PERGUNTA AO PROVAR ALGO QUE OS OUVIDOS HUMANOS MAIS SENSÍVEIS SÃO CAPAZES DE PERCEBER O QUE É DE UMA IMPORTÂNCIA FÍSICA EXTRAORDINÁRIA: OS SONS COMPLEXOS SÃO COMBINAÇÕES DE SONS SIMPLES, CADA UM COM SUA FREQUÊNCIA E AMPLITUDE. OU SEJA, MOSTROU QUE A EQUAÇÃO (1), PROPOSTA POR FOURIER, É, SOB CERTAS CONDIÇÕES, UM BOM MODELO MATEMÁTICO PARA A DESCRIÇÃO DOS SONS MUSICAIS EM GERAL.









A CONFIRMAÇÃO DA VALIDADE DESSE MODELO E DA INTUIÇÃO GENIAL DE FOURIER SERIA ALCANÇADA AINDA NO SÉCULO XIX PELO ALEMÃO FERDINAND VON HEMHOLTZ (1821-1894), QUE LOGROU REPRODUZIR SONS DE INSTRUMENTOS MUSICAIS POR MEIO DE COMBINAÇÕES DE SONS SIMPLES DE VÁRIAS FREQUÊNCIAS E AMPLITUDES. ERA A ANTECIPAÇÃO DOS MODERNOS SINTETIZADORES ELETRÔNICOS.
 










Fonte:

ALMEIDA,Nilze de; DEGENSZAJN, David; DOLCE, Oswaldo; IEZZI, Gelson; PÉRIGO, Roberto.
Matemática Ciências e Aplicações. 2ª Edição - 2004 - São Paulo - Atual Editora. Pág. 138 a 139.












Crédito das imagens:

http://www.mundoeducacao.com/fisica/notas-escalas-musicais.htm

http://vestibular.uol.com.br/cursinho/simulados/semana-17-fisica.htm 

http://oguitarrista.com/blog/como-afinar-sua-guitarra-ou-violao/ 

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